Von 1804 bis 1807 entstand die wohl wichtigste und preisgekrönte Arbeit von Baron Joseph Fourier, veröffentlicht erst 1822: Theorie analytique de la chaleur (Analytische Theorie der Wärme) - Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 bis 1830).

Fourier hat die Wärmeentwicklung in einem homogenen Körper durch eine Differentialgleichung (Wärmeleitungsgleichung) beschrieben und diese Gleichung mittels der nach ihm benannten Methode der trigonometrischen Reihen gelöst.

Unter der Wärmeleitungsgleichung versteht man im Allgemeinen eine partielle Differentialgleichung, welche die Temperaturentwicklung u(t,x,y,z) im Zeitpunkt t an einer beliebigen inneren Stelle (x,y,z) eines dreidimensionalen Objekts beschreibt. Diese Gleichung hat die nachfolgende Form, wobei die "Materialkonstante" a hierbei die Temperaturleitfähigkeit (Diffusität) für ein homogenes isotropes Material beschreibt.

Um 1930 adaptierte J.D. MacLean [MLe30,MLe32] Fourier‘s Differentialgleichung um die Wärmeleitung in Holz zu beschreiben. Da es sich bei Holz um keinen homogenen Körper handelt, musste MacLean die Wärmeausbreitung in tangential- und radialer Richtung unterschiedlich berücksichtigen. Unter Zugrundelegung eines unendlich langen Balkens (dies ist aufgrund der vielfachen Längenausdehnung eines Holzbalkens bezogen auf die restlichen Balkenabmessungen möglich) und des anisotropen Temperaturleitungsverhaltens von Holz wurde die Gleichung folgendermaßen angepasst:

Die Variable z (die z-Koordinate) wird wie erwähnt vernachlässigt, d.h. man reduziert auf eine Temperaturfunktion u(t,x,y). Die Faktoren a_r und a_t entsprechen der Diffusität in radialer und tangentialer Richtung des Holzes und ihre jeweilige Berechnung ist in [Kol51, Vor58] dargestellt. Die Arbeit von MacLean ist Grundlage für viele wärmetechnische Problemstellungen bzw. Anwendungen in der Holztechnologie wie der Holztrocknung, dem Thermoholz, dem Dämmverhalten von Holz (Wände), uvm.

Im Folgenden wird die Temperaturverteilung in einem quadratischen Holzbalken grafisch dargestellt. Dazu wird der Balkenquerschnitt diskretisiert und die Temperatur an jedem diskreten Punkt des Querschnitts mittels der Lösung der MacLean Gleichung berechnet und in einer Datenmatrix gespeichert (vgl. Matlab Script im Anschluss). Ein Flächendiagramm visualisiert diese Matrix und damit die Temperaturverteilung im Balken. Die Verteilung wird in den folgenden Grafiken für die Zeiten t = 10 und t = 30 Minuten visualisiert. Es wurde eine Balkenanfangstemperatur von 21 Grad vorausgesetzt und eine Erwärmung des Balkens bis 100 Grad. Im Anschluss an die Literaturangaben findet man den Matlab-Code mit den gewählten Parametern. Grafische Illustrationen mit Hilfe dieser Darstellung sind im Anhang dargestellt.

Literatur

[Ent2020] Entacher, K. Über die Wärmeleitung in Holz. Ein Web-Dokument: Dokumentenlink mit Anhang1 und Anhang2. 2020.

[MLe1930] MacLean, J.D. Studies of heat conduction in wood, Proceedings of the Twenty-Eight Annual Meeting of the American Wood Preservers Association, Seattle, 1930.

[MLe1932] MacLean, J.D. Studies of heat conduction in wood, Part II, Proceedings of the Twenty-Eight Annual Meeting of the American Wood Preservers Association, St. Louis, 1930.

[Kol1951] Kollmann, F. Technologie des Holzes und der Holzwerkstoffe, Band 1-3, zweite Auflage, Springer Verlag, 1951.

[Vor1958] Vorreiter, L. Holztechnologisches Handbuch Band II.Verlag Georg Fromme & Co. Wien, 1958.

[OCR1997] J J O'Connor and E F Robertson. Jean Baptiste Joseph Fourier. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fourier/ 1997.

[Pap2001] Papula, L. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1-3, Übungen und Formelsammlung, Vieweg Verlag, 2001.

[Pre2002] Preuß, W. Funktionaltransformationen, Fourier-, Laplace- und Z-Transformation, Mathematik-Studienhilfen, Fachbuchverlag Leipzig, 2002.

Matlab Code zur 2D - Visualisierung

function tsum = tempsum(x,y,z)
t0 = 20; t1 = 120;
p=pi^2;
b = 10;h = 10;
ar = 0.035; at = 0.035;
s = 0;
for n = 1:10
for m = 1:10
tmp = 0;
nn = 2*n-1; mm = 2*m-1;
tmp = (exp((-p)*z*(((ar*mm^2)/b^2) +
((at*nn^2)/h^2)))*sin(mm*pi*x/b)*sin(nn*pi*y/h))/(mm*nn);
s = s + tmp;
end
end
tsum = t1 + ((t0-t1)*16/p)*s;

for i = 1:N+1
for j = 1:N+1
M(i,j) = tempsum((i-1)*b/N, (j-1)*h/N, 50);
end
end
contourf(M);
axis equal;

axis off;

Einige Illustrationen

Berechnet man die Wärmeverteilung im Balken für verschiedene Zeiten, dann können durch geeignete Anordnung der Ergebnis-Bilder sehr schöne Grafiken generiert werden.